Начертательная геометрия Сопротивление материалов Основы теории упругости и пластичности Обобщенный закон Гука Основы теории пластичности Теория тонких пластин

Курс лекций Сопротивление материалов

Пластины и оболочки

Теория тонких пластин

 Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого, называемое толщиной, значительно меньше двух других. Геометрическое место точек, равностоящих от обеих поверхностей оболочки, носит название срединной поверхности. Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной (рис.11.1.).

Рис.11.1

 Предполагаем, что на поверхности пластины действует распределенная нагрузка интенсивностью q=q(x,y). Для вывода диф-ференциального уравнения изогнутой поверхности пластинки выделим из ее состава бесконечно малый элемент с размерами dx, dy, h, где h-толщина пластины. Выделенный элемент с указанными внутренними усилиями изображен на рис.11.2. Определим внутренние усилия в пластине следующим образом.

Рис.11.2

 Для этого отметим характерную для пластин особенность обозначения изгибающих моментов отличны от тех, что приняты в балках, а именно: Мx-изгибающий момент на площадке с нормалью параллельной осиx; аналогично, Мy-изгибающий момент на площадке с нормалью параллельной оси y; Мxy-крутящий момент относительно оси x, действующий в плоскости параллельной оси y; Мyx-крутящий момент относительно оси y, действующий в плоскости параллельной оси x (см.рис.10.2). Различие между Qx и Qy состоит в том, что интегрирование ведется по площадке с нормалью параллельной оси x, в первом случае, и по площадке с нормалью параллельной оси y во втором. С учетом изложенного выражения усилий записываются в следующем виде:

;

 

 Проецируя все силы, приложенные к элементу пластинки на вертикальную ось z, из условия равновесия получим:

,

откуда

 (11.1)

 Далее, составляя условия равновесия в форме суммы моментов относительно координатных осей x и y, и пренебрегая малыми величинами второго порядка, получим:

 (11.2)

 Подставляя выражения Qx и Qy из (11.2) в (11.1), получим:

. (11.3)

 Очевидно, что для определения трех величин Мx, Мy и Мxy одного уравнения (11.3) недостаточно. Для решения задачи необходимо выразить моменты через прогибы пластинки. С этой целью для тонких пластинок вводится следующие допущения:


Лекции, примеры выполнения задания Определение опорных реакций