Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике

Примеры вычисления интегралов Математический анализ Дифференциальное исчисление Аналитическая геометрия Комплексные числа ТФКП MATLAB

Высшая математика Вывод формулы Тейлора

Теорема (Формула Тейлора для функции нескольких переменных)

Матрица Гессе

Пример Рассмотрим функцию $\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2e^{x_1+x_2}+x^2_2e^{x_1-x_2}.$

Пример Найдём квадратичное приближение для функции $ f(x;y)=x^y$ в окрестности точки $ M(1;1)$ и вычислим приближённо значение выражения $ 0{,}98^{1{,}05}$ .

Пример Найдём разложение многочлена $\displaystyle f(x;y)=x^3-2y^3+3xy$

Пример Найдём разложение по формуле Тейлора для функции $\displaystyle f(x;y)=e^x\sin y$

Предположим, что в рассматриваемой области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ функция $ f(x)$ имеет все частные производные до порядка $ m+1$ включительно. Рассмотрим прямую $ \ell$ , соединяющую фиксированную внутреннюю точку $ x^0\in{\Omega}$ с произвольной точкой $ x\in{\Omega}$ и будем предполагать, что все точки отрезка, соединяющего $ x^0$ с $ x$ , также принадлежат $ {\Omega}$ :

 

$\displaystyle x^t=x^0+t(x-x^0)\in{\Omega}$ при $\displaystyle t\in[0;1].$

Рассмотрим ограничение функции $ f$ на прямую $ \ell$ (точнее, на её часть, лежащую в пределах области $ {\Omega}$ ) и параметризуем это ограничение параметром $ t$ . Полоучим функцию одного переменного $ t$ :

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . Примеры решения и оформления задач контрольной работы

$\displaystyle \wt f(t)=f(x^0+t(x-x^0)).$

К функции $ \wt f$ можно применить обычную (приведённую выше) формулу Тейлора в точке $ t_0=0$ :

$\displaystyle \wt f(t)=\wt f(0)+\wt f'(0)t+\frac{1}{2!}\wt f''(0)t^2+\ldots+
 \frac{1}{m!}\wt f^{(m)}(0)t^m+
 \frac{1}{(m+1)!}\wt f^{(m+1)}(r)t^m,$   

где $ r$  -- некоторая точка отрезка между 0 и $ t$ . Если $ t\in[0;1]$ , то $ r$ также принадлежит отрезку $ [0;1]$ . Отсюда при $ t=1$ получаем

$\displaystyle \wt f(1)=\wt f(0)+\wt f'(0)+\frac{1}{2!}\wt f''(0)+\ldots+
 \frac{1}{m!}\wt f^{(m)}(0)+
 \frac{1}{(m+1)!}\wt f^{(m+1)}(r),$(9.1)

где $ r\in[0;1]$ .

Очевидно, что $ \wt f(0)=f(x^0)$ . Посмотрим, как производные

 

$\displaystyle \wt f'(0),\ \wt f''(0),\ \dots,\ \wt f^{(m)}(0),\ \wt f^{(m+1)}(r)$

выражаются через частные производные функции $ f$ .

Для нахождения $ \wt f'(t)$ воспользуемся формулой производной сложной функции:

$\displaystyle \wt f'(t)=\frac{d}{dt}f(x^0+t(x-x^0))=$   
$\displaystyle =\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^t)\cdot\frac{d}{dt}(x_1^0+t(x_...
...ts+
 \frac{\partial f}{\partial x_n}(x^t)\cdot\frac{d}{dt}(x_n^0+t(x_n-x_n^0))=$   
$\displaystyle =\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^t)(x_1-x_1^0)+\ldots+
 \frac{\...
...(x^t)(x_n-x_n^0)=
 \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^t)(x_i-x_i^0)=$   
$\displaystyle =(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^t)\cdot(x-x^0).$   

При $ t=0$ получаем

$\displaystyle \wt f'(0)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)(x_i-x_i^0)=$(9.2)
$\displaystyle =(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\cdot(x-x^0).$(9.3)

Вычислим теперь $ \wt f''(0)$ , для чего найдём $ \wt f''(t)$ :

$\displaystyle \wt f''(t)=\frac{d}{dt}\wt f'(t)=\frac{d}{dt}\Bigl(
 \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^t)(x_i-x_i^0)\Bigr)=$   
$\displaystyle =\sum_{i_1=1}^n\Bigl[\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_{i_1}}(x^t)\Bigr)\Bigr]
 (x_{i_1}-x^0_{i_1})=$   
$\displaystyle =\sum_{i_1=1}^n\Bigl[
 \sum_{i_1=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_{i_1}\pat x_{i_2}}(x^t)(x_{i_2}-x^0_{i_2})
 \Bigr](x_{i_1}-x^0_{i_1})=$   
$\displaystyle =\sum_{i_1=1}^n
 \sum_{i_1=2}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_{i_1}\pat x_{i_2}}(x^t)(x_{i_1}-x^0_{i_1})
 (x_{i_2}-x^0_{i_2}).$   

Положив в этой формуле $ t=0$ , получаем:

$\displaystyle \wt f''(0)=\sum_{i_1=1}^n
 \sum_{i_2=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_{i_1}\pat x_{i_2}}(x^0)(x_{i_1}-x^0_{i_1})
 (x_{i_2}-x^0_{i_2}).$(9.4)

Каждое последующее дифференцирование, как нетрудно понять, будет увеличивать на единицу количество суммирований от 1 до $ n$ , порядок частных производных функции $ f$ , вычисленных в точке $ x^0$ , а также количество сомножителей-биномов вида $ (x_{i_j}-x^0_{i_j})$ . Для третьей производной получаем

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>109 \wt f^{(3)}(0)=
 \sum_{i_1=1}^n
 \sum_...
...t x_{i_3}}(x^0)
 (x_{i_1}-x^0_{i_1})
 (x_{i_2}-x^0_{i_2})
 (x_{i_3}-x^0_{i_3}),$   

а для производной порядка $ m$  --

$\displaystyle \wt f^{(m)}(0)=
 \sum_{i_1=1}^n
 \sum_{i_2=1}^n\ldots
 \sum_{i_m=...
..._m}}(x^0)
 (x_{i_1}-x^0_{i_1})
 (x_{i_2}-x^0_{i_2})\ldots
 (x_{i_m}-x^0_{i_m}).$(9.5)

Правая часть формулы (9.5) содержит $ n^m$ слагаемых, в каждом из которых $ m+1$ множитель. Точно так же выписывается и выражение, задающее $ \wt f^{(m+1)}(r)$ :

$\displaystyle \wt f^{(m+1)}(r)=
 \sum_{i_1=1}^n
 \sum_{i_2=1}^n\ldots
 \sum_{i_...
...(x^r)
 (x_{i_1}-x^0_{i_1})
 (x_{i_2}-x^0_{i_2})\ldots
 (x_{i_m}-x^0_{i_{m+1}}),$(9.6)

где $ x^r=x^0+r(x-x^0)$ .

Подставляя выражения (9.2), (9.4),..., (9.5), (9.6) в правую часть формулы (9.1), получаем в результате следующее утверждение:

  

На главную