Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике

Примеры вычисления интегралов Математический анализ Дифференциальное исчисление Аналитическая геометрия Комплексные числа ТФКП MATLAB

Площадь области, лежащей между двумя графиками

Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками и .

Пример Найдём площадь ограниченной области $ \mathcal{D}$ , лежащей между графиками и .

Площадь в полярных координатах
Найдём площадь $ S$ области, ограниченной частью спирали ( ) при и отрезком оси $ Ox$
Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса $ R$ : , горизонтальной плоскостью $ z=0$ и наклонной плоскостью и лежащего выше горизонтальной плоскости

Пусть в плоскости рассматривается линия на отрезке .

Вычисление длины плоской линии

Найдём длину $ l$ отрезка параболы , лежащего между точками и .

Найдём длину дуги кривой ( циклоиды ), заданной на плоскости параметрическими уравнениями

Площадь поверхности вращения

Вычислим площадь поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси части линии , расположенной над отрезком $ [0;1]$ оси .

Пример Найдём площадь $ S$ области, заключённой между первым и вторым витком спирали Архимеда $ r=a{\varphi}$ ($ a>0$ ) и отрезком горизонтальной оси $ {\varphi}=0$ .

Найдём объём $ V$ тела, ограниченного поверхностью вращения линии $ y=4x-x^2$ вокруг оси $ Ox$ (при $ 0\leqslant x\leqslant 4$ ).

Вычислим длину $ l$ дуги линии $ y=\ln\cos x$ , расположенной между прямыми $ x=0$ и $ x=\frac{\pi}{3}$ .

Пример Вычислим площадь $ Q$ поверхности вращения, полученной при вращении дуги циклоиды $ x=t-\sin t;\ y=1-\cos t$ , при $ t\in[0;2\pi]$ , вокруг оси $ Ox$ .

Пусть $ f(x)$ и $ g(x)$  -- две непрерывные функции, заданные на отрезке $ [a;b]$ , причём $ f(x)\leqslant g(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ . Между графиками $ y=f(x)$ и $ y=g(x)$ лежит область $ \mathcal{D}$ , с боков ограниченная отрезками прямых $ x=a$ и $ x=b$ .

Рис.6.1.



Если обе функции неотрицательны, то есть $ f(x)\geqslant 0$ , то для вычисления площади $ S_{\mathcal{D}}$ области $ \mathcal{D}$ достаточно заметить, что она равна разности площадей областей $ \mathcal{D}_g$ и $ \mathcal{D}_f$ , лежащих между отрезком $ [a;b]$ (снизу) и, соответственно, графиком $ y=g(x)$ и $ y=f(x)$ (сверху). Для нахождения площади $ S_g$ области $ \mathcal{D}_g$ и $ S_f$ области $ \mathcal{D}_f$ применим формулу (6.1) и получим: Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений Геометрические приложения определенного интеграла

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=S_g-S_f=\int_a^bg(x)\;dx-\int_a^bf(x)\;dx=\int_a^b(g(x)-f(x))\;dx.$(6.2)

Если же неравенство $ f(x)\geqslant 0$ не выполнено, то заметим следующее: функция $ f(x)$ ограничена, в том числе снизу, на $ [a;b]$ :

 

$\displaystyle f(x)\geqslant M$

при некотором $ M$ (по предположению, $ M<0$ ). Сдвинем оба графика, $ y=f(x)$ и $ y=g(x)$ , на $ \vert M\vert=-M$ единиц вверх, то есть рассмотрим функции $ f_1(x)=f(x)-M$ и $ g_1(x)=g(x)-M$ . Тогда, с одной стороны, область между графиками тоже целиком сдвигается на $ \vert M\vert$ вверх, и её площадь не изменяется; с другой стороны, оба сдвинутых вверх графика окажутся целиком не ниже оси $ Ox$ , и площадь между ними можно будет сосчитать по формуле (6.2). Заметим теперь, что

 

$\displaystyle g_1(x)-f_1(x)=g(x)-f(x).$

В итоге получаем:

 

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=S_{g_1}-S_{f_1}=
\int_a^b(g_1(x)-f_1(x))\;dx=
\int_a^b(g(x)-f(x))\;dx.$

Итак, формула (6.2) остаётся верной вне зависимости от того, как графики функций $ f(x)$ и $ g(x)$ расположены относительно оси $ Ox$ .

     

[an error occurred while processing this directive]