Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике

Примеры вычисления интегралов Математический анализ Дифференциальное исчисление Аналитическая геометрия Комплексные числа ТФКП MATLAB

Интегрирование функции Примеры решений

Определение

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от и .

Пример Вычислим интеграл

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ \sin x$ и $ \cos x$ .

Вычислим интеграл

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от и

Пример Вычислим интеграл

Найдём интеграл

Пример Вычислим интеграл

Примеры решения задач

Найдём интеграл

Пример Вычислим интеграл

Вычислим интеграл

Пример Вычислим интеграл

Некоторые типы неопределённых интегралов сводятся путём соответствующей замены к интегралам от рациональных функций. Рассмотрим три таких случая.

        Определение 2.1   Будем говорить, что функция $ f(x)$ рациональным образом зависит от выражения $ u(x)$ , если $ f(x)$ можно представить в виде
$\displaystyle f(x)=R(u(x)),$

где $ R(u)$  -- рациональная функция от переменного $ u$ .     

Например, функция

 

$\displaystyle f(x)=\frac{\sin^2x+3\sin x+2}{\sin^2x+1}$

рациональным образом зависит от $ u=\sin x$ , а функция

 

$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-1}{e^{2x}-4}$

рациональным образом зависит от $ u=e^x$ .

Одночленом от двух переменных $ u$ и $ v$ назовём выражение вида $ Au^mv^n$ , где $ A=\mathrm{const}$ , а показатели степени $ m$ и $ n$  -- целые неотрицательные числа. Многочленом от двух переменных $ u$ и $ v$ назовём сумму конечного числа одночленом от этих двух переменных. (Считаем, что сумма может состоять и из одного слагаемого, так что каждый одночлен -- это частный случай многочлена.)

Например, $ u^2+v^2$ , $ 2uv$ , $ u^4-3u^3v+5uv^3-v^4$  -- многочлены от переменных $ u$ и $ v$ .

Рациональной функцией от двух переменных $ u$ и $ v$ назовём отношение двух многочленов от $ u$ и $ v$ :

 

$\displaystyle R(u,v)=\frac{P(u,v)}{Q(u,v)},$

где $ P(u,v)$ и $ Q(u,v)$  -- многочлены от $ u$ и $ v$ .

Например, функции

$\displaystyle \frac{2uv}{u^4+v^4},\ \frac{2u-5v}{u^2v+3uv+v-1}$ --

рациональные функции от $ u$ и $ v$ .

      

[an error occurred while processing this directive]