Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике

Примеры вычисления интегралов Математический анализ Дифференциальное исчисление Аналитическая геометрия Комплексные числа ТФКП MATLAB

Интегрирование функции Примеры решений

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

Вычислим интеграл

Интегралы от произведений синусов и косинусов

Расмотрим интеграл вида

Найдём интеграл

Вычислим интеграл

Рассмотрим случай вычисления интеграла

Пример Найдём интеграл $\dis

Пример Вычислим интеграл

Формула понижения степени

Вычислим интеграл

 

Рациональные функции и их интегрирование

Пример Разделим с остатком -- многочлен третьей степени -- на бином $ {Q(x)=x-2}$ -- многочлен первой степени:

Разложим на множители многочлен третьей степени .

Разложим рациональную дробь

Замечание

Вычислим интеграл

Пример Вычислим интеграл

1. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен. Рассмотрим интегралы, подынтегральная функция в которых содержит квадратный трёхчлен $ ax^2+bx+c$ , где $ a\ne0,\ b,\ c$  -- некоторые постоянные, вида

 

$\displaystyle \int\frac{Mx+N}{ax^2+bx+c}dx$ и $\displaystyle \int\frac{Mx+N}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx.$

(Заметим, что в числителе дроби должно стоять линейное выражение $ Mx+N$ , где $ M$ и $ N$  -- постоянные; при этом какой-либо из постоянных не запрещается быть равной 0.) Уравнения Колмогорова

Такие интегралы приводятся к табличным следующим способом. Нужно выделить из квадратного трёхчлена выражение, равное полному квадрату, сделав такое преобразование:

 

$\displaystyle ax^2+bx+c=a\bigl(x^2+2x\cdot\frac{b}{2a}+\bigl(\frac{b}{2a}\bigl)...
...2a}\bigl)^2\bigl)=
a\bigl(x+\frac{b}{2a}\bigl)^2+\bigl(c-\frac{b^2}{4a}\bigl).$

После этого сделаем линейную замену $ z=x+\frac{b}{2a}$ и получим интеграл одного из видов:

 

$\displaystyle \int\frac{mz+n}{z^2+d^2}\,dz;\ %
\int\frac{mz+n}{z^2-d^2}\,dz;\ %
\int\frac{mz+n}{\sqrt{z^2\pm d^2}}\,dz;\ %
\int\frac{mz+n}{\sqrt{d^2-z^2}}\,dz$

при некоторых постоянных $ m,n$ и $ d$ . Далее разбиваем интеграл на два слагаемых и в первом, в числителе подынтегральной функции содержащем $ mz$ , делаем замену $ {u=z^2+d^2}$ , $ {u=z^2-d^2}$ или $ {u=d^2-z^2}$ , согласно тому, что стоит в знаменателе. После этого первое слагаемое приводится к табличному интегралу. Второе слагаемое, с $ n$ в числителе подынтегральной функции, тоже даёт табличный интеграл.

       

[an error occurred while processing this directive]