Математический анализ Аналитическая геометрия

Математика решение матриц примеры

Действия над матрицами и линейные преобразования

С матрицами можно производить операции сложения и вычитания, если их размеры совпадают.

Суммой двух матриц А и В называется матрица, определяемая равенством

.

Произведением числа m на матрицу А называется матрица, определяемая равенством

.

Произведение двух матриц А и В обозначается символом АВ и определяется равенством

т.е. элемент матрицы - произведения, стоящий в i-й строке и k-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы А и k-го столбца матрицы В.

Отсюда вытекает ограничение на размерность матриц А и В: число элементов в строке матрицы А должно равняться числу элементов в столбце матрицы В. Чтобы для каждого элемента из i-й строки матрицы А нашелся парный элемент из k-го cтолбца В. То есть в случае прямоугольных матриц А(m х n) и В(p х q) n должно равняться p.

Пример1: перемножить матрицы

- размером (2 х 3)

- размером (3 x 3)

Решение: Так как число столбцов А(3) совпадает с числом строк В (3), следовательно, можно их перемножить.

Чтобы получить элемент С 11 произведения, умножим первую строку матрицы А на первый столбец матрицы В.

С11 = 1·1 + 2·0 + 3·2 = 7,

С12 получится умножением первой строки А на второй столбец В:

С12 = 1·2 + 2·2 +3·2 = 12

С13 – умножением первой строки А на третий столбец В:

С13 = 1·3 + 2·0 + 3·1 = 6

С21 –умножением второй строки А на первый столбец В:

С21 = 0·1 = 1·0 +2·2 = 4

Далее, умножая вторую строку А на второй столбец В, получим С 22=6, умножая вторую строку А на третий столбец В, получим С 23=2

Больше у нас строк нет. Получилась матрица С, состоящая из двух строк и трех столбцов

Таким образом, А(2 х 3)·В(3 х 3) = С(2 х 3)

По отношению к произведению двух матриц переместительный закон, вообще говоря, не выполняется АВ ВА.


Примеры решения задач по математике Линейная алгебра