Математический анализ Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия решения примеры задачи

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Мы уже рассматривали методы решения систем линейных алгебраических уравнений, но только в тех случаях, когда матрица системы – квадратная, то есть число уравнений равно числу неизвестных. Рассмотрим теперь самый простой и употребительный способ решения систем линейных уравнений – метод Гаусса. Рассмотрим его на простейшем примере, решая систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Мы хотим исключить х1 из всех уравнений, кроме первого. Для этого мы должны вычесть из второго уравнения первое, умноженное на 4, а к третьему прибавить первое, умноженное на 5.

На втором шаге исключения мы не трогаем первое уравнение. Другие два уравнения содержат два неизвестных х2 и х3 и к ним можно применить ту же процедуру исключения. Для этого к третьему уравнению прибавляем второе, умноженное на 3.

Далее наши действия очевидны. Из третьего уравнения х3=-1, подставляя это значение во второе уравнение, получаем х2=-3 и наконец, из первого уравнения получаем х1=2. Этот простой процесс называется простой подстановкой. Таким образом, процесс решения системы линейных алгебраических уравнений по методу Гаусса состоит из двух этапов.

Первый этап (прямой ход метода) – система приводится к треугольному виду.

Второй этап (обратный ход) – неизвестные определяются последовательно, начиная с последнего неизвестного и кончая первым.

Аналогично, эту идею последовательного исключения можно применить и в случае матрицы А(mxm) размера больше 3х3.

Без ограничения общности можно считать, что в нашей системе ведущий элемент a110 первого шага (иначе просто переставим уравнение). На первом шаге мы просто исключим х1 из всех уравнений, начиная со второго, для чего из второго уравнения почленно вычтем первое, умноженное на а2111, из третьего почленно вычтем первое, помноженное на а3111 и т.д.. Тогда система заменится эквивалентной системой:


Примеры решения задач по математике Линейная алгебра