Математический анализ Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия решения примеры задачи

Аналитическая геометрия

Рассмотрим пример: Даны вершины пирамиды А1(1,2,3) А2(3,5,4) А3(1,5,2) А4(3,4,8)

Найти:

1) Длину ребра А1А2. Длина ребра есть длина вектора A1A2 =(3-1, 5-2, 4-3) = (2,3,1)

2) Угол между ребрами А1А2 и А1А4. Угол между ребрами есть угол между векторами A1A2 и А 1А4

А1А2=(2,3,1) А1А4=(2,2,5)

3) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.

Поскольку угол между прямой и плоскостью есть угол между прямой и ее проекцией на плоскость, мы можем рассмотреть угол, дополняющий a до p /2 . Это угол между нормалью к плоскости и А 1А4. В качестве нормали возьмем векторное произведение A1A2 (2,3,1) и A1A3(0,3,-1)

4) Площадь грани А1А2А3. SА1А2А3 есть площадь треугольника А1А2А3 и половина площади параллелограмма, построенного на А 1А2 и А 1А3 , которая равна длине вектора N, вычисленного выше.

Найдем объем пирамиды А1 А2 А3 А4.

5) Чтобы найти объем пирамиды, мы можем воспользоваться выражением через объем призмы который, как мы знаем, равен смешанному произведению векторов, на которых, как на ребрах построена призма.

6) Уравнения прямой А1А2: Направляющий вектор - А 1А2 , точка, через которую проходит прямая – А1.

Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении (то есть имеющей данный направляющий вектор)

7) Уравнение плоскости А1А2А3: опорные точки – А123

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:

разложим по элементам 1-го столбца:

(х - 1)(-6) - 2[(у - 2)(-1) - 3(z - 3)] = 0 6(1 - х) - 2(2 - у - 3z + 9) = 0 6 - 6х - 22 + 2у + 6z = 0

6х - 2у - 6z + 16 = 0 или 3х - у - 3z + 8 = 0

8) Известно, что наша прямая проходит через точку А4 (3,4.8). Используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении (с заданным направляющим вектором).


Примеры решения задач по математике Линейная алгебра