Математический анализ Аналитическая геометрия

Математика решение матриц примеры

Аналитическая геометрия

Общее уравнение прямой на плоскости

Рассмотрим на плоскости Оху произвольную прямую L. Пусть дана некоторая ее точка М11у1) и вектор N=Ai+Bj, перпендикулярный рассматриваемой прямой. Этот вектор называется нормальным вектором прямой. Точка М1 и нормальный вектор N вполне определяют положение прямой L на плоскости Оху.

Пусть М(х,у) - любая точка прямой L (она называется текущей точкой). По условию, вектор N перпендикулярен вектору , лежащему на этой прямой. Поэтому скалярное произведение ( N, ) =0 , или в координатной форме А(х – х1) + В(у – у1) = 0

Произведем преобразования – раскроем скобки:

АX + ВY + [-АX1 – ВY1 ] = 0

В квадратных скобках у нас некое число. так как А и В числовые коэффициенты, а х1 и у1 - координаты точки и, если это число обозначим С, то получится общее уравнение прямой на плоскости.

АX + ВY + С = 0

Каноническое уравнение

Далее, положение прямой L на плоскости вполне определяется заданием какой-либо ее точки М(х11) и вектора S=m i+n j , параллельного L или лежащего на ней. Этот вектор называется направляющим вектором прямой L.

Пусть М(х,у) - произвольная точка прямой L. Так как векторы

коллинеарны (по условию), то их координаты пропорциональны.

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении.

Рассмотрим снова прямую L. Ее положение вполне определяется заданием угла a (Ox, L) и точки М(х ,у ), лежащей на этой прямой.

В качестве направляющего вектора возьмем единичный вектор

Проверим, будет ли этот вектор единичным?

Его длина

Тогда каноническое уравнение прямой будет иметь вид:

,

получим у-у1 = k(х – х1) – это прежнее уравнение прямой с угловым коэффициентом.


Примеры решения задач по математике Линейная алгебра