Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости Напомним сведения об уравнении прямой на плоскости. Любое уравнение первой степени относительно неизвестных х и у является уравнением прямой на плоскости: АX + ВY + С = 0

Общее уравнение прямой на плоскости Рассмотрим на плоскости Оху произвольную прямую L. Пусть дана некоторая ее точка М11у1) и вектор N=Ai+Bj, перпендикулярный рассматриваемой прямой. Этот вектор называется нормальным вектором прямой. Точка М1 и нормальный вектор N вполне определяют положение прямой L на плоскости Оху. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А11у1z1), А22у2z2), А33у3z3)

Рассмотрим пример: Даны вершины пирамиды А1(1,2,3) А2(3,5,4) А3(1,5,2) А4(3,4,8)

Найти: 1) Длину ребра А1А2. Длина ребра есть длина вектора A1A2 =(3-1, 5-2, 4-3) = (2,3,1)

Кривые второго порядка - это линии на плоскости, координаты точек которых связаны уравнениями второй степени относительно х и у в декартовой системе координат. Рассмотрим следующие виды кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная.

Гипербола - геометрическое место точек. разность расстояний которых до двух фиксированных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная. Эта фигура также обладает двумя осями симметрии и центром. Если фокусы F1 и F2 расположены на прямой, параллельной Ох , то ее каноническое уравнение имеет вид. Пример. На правой ветви гиперболы х 2/16 - y2/9 = 1 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше её расстояния от левого фокуса.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса Мы уже рассматривали методы решения систем линейных алгебраических уравнений, но только в тех случаях, когда матрица системы – квадратная, то есть число уравнений равно числу неизвестных. Рассмотрим теперь самый простой и употребительный способ решения систем линейных уравнений – метод Гаусса. Рассмотрим его на простейшем примере, решая систему трех уравнений с тремя неизвестными

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, определяются формулами: Второй этап – обратный ход, заключается в решении треугольной системы. Из последнего уравнения находим xm. По найденному xm из (m-1) уравнения находим xm-1. Затем по xm-1 и xm из (m-2) уравнения находим xm-2. Процесс продолжаем, пока не найдем x1 из первого уравнения.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса Пределы, пределы слева, пределы справа

Бесконечно малые функции и бесконечно большие функции

 

Основные элементарные функции. Пределы элементарных функций. Свойства пределов

Предел произведения равен произведению пределов. Предел частного равен частному пределов. Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям.

 

Рассмотрим конкретные примеры пределов: Найдем Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности типа . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на х4. Имеем неопределенность вида {0/0} в тригонометрическом выражении. Раскроем ее с помощью первого замечательного предела, но в первом замечательном пределе знаменатель дроби и аргумент синуса должны совпадать.

Непрерывность функции, разрывы Пусть функция f(x) определена на некотором множестве Е и х0 – предельная точка множества Е.

Свойство нерерывности сложной функции Если функция u=g(x) непрерывна в точке х0 и функция y=f(u) непрерывна в точке u0=g(x0), то сложная функция y=f(g(x)) непрерывна в точке х0. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Примеры решения задач по математике