Спин, момент импульса Уравнение Шрёдингера

 

Коммутационные соотношения

Алгебра операторов момента Рассмотрим теперь алгебру операторов момента в общем виде, не фиксируя ее представление. Выбирая  в качестве естественной единицы измерения момента и обозначая (безразмерные) компоненты , получаем коммутационные соотношения в виде

Спектр операторов

Решение системы неравенств

Рассмотрим последовательность векторов

Свойства момента

Орбитальный момент

в сферических координатах

Теория

Лабораторная работа № 114 Определение молярной газовой постоянной методом откачки Цель работы: экспериментально определить молярную газовую постоянную.

Условие полноты системы

Введем полиномы Лежандра

Сферические функции Рассмотрим их преобразование при дискретном преобразовании координат – пространственной инверсии , отвечающей переходу от правой системы координат к левой

Пример Сферические функции  реализуют неприводимое -мерное представление группы вращений , образуя базис в пространстве функций, заданных на сфере единичного радиуса.

Спин уравнение паули

Оператор спина 

Введем векторный оператор спина

Квадрат спина

Общие собственные векторы операторов

Унитарные унимодулярные преобразования Унитарные унимодулярные преобразования в двумерном пространстве образуют, как известно, группу . Эта группа связана с группой вращений трехмерного евклидова пространства  следующим образом. Рассмотрим множество эрмитовых бесследовых матриц вида

Уравнение Шрёдингера для частицы во внешнем электромагнитном поле

Магнитный момент Рассмотрим движение электрона во внешнем электромагнитном поле, заданном 4-потенциалом . По принципу соответствия определим гамильтониан (нерелятивистского) электрона (массу его будем обозначать , чтобы не путать с квантовым числом для проекции момента) в виде

Магнитный момент и момент импульса

Коэффициент пропорциональности между магнитным моментом и моментом импульса называется гиромагнитным отношением

Атом в магнитном поле Для электрона в атоме электростатическое взаимодействие значительно сильнее взаимодействия с магнитными полями, достижимыми в лабораторных условиях. Поэтому квадратичным по напряженности поля слагаемым в гамильтониане можно пренебречь:

Магнетон Бора Мы видим, что возникла естественная единица измерения магнитного момента, называемая магнетоном Бора

Опыты Штерна и Герлаха Особенно наглядно противоречие теории и эксперимента проявилось в опытах Штерна и Герлаха (O. Stern, W. Gerlach, 1922). Они пропускали узкий пучок атомов водорода, находящихся в основном состоянии (), через область неоднородного магнитного поля и обнаружили, что пучок расщепляется на два пучка. Результаты опытов можно объяснить, предполагая, что атом водорода в основном состоянии обладает некоторым магнитным моментом.

Уравнение Паули Спин в аппарат квантовой механики был введен Паули. Он предложил (постулировал) для описания электрона уравнение, которое теперь называется уравнением Паули (W. Pauli, 1927):

Движение в центрально-симметричном поле

  Рассмотрим движение частицы в стационарном поле Рассмотрим движение частицы в стационарном поле .

Такое поле называется центрально-симметричным, или, коротко, центральным.

Стационарное уравнение Шрёдингера Так как момент - интеграл движения, то любая собственная функция гамильтониана представляется в виде произведения радиальной функции, зависящей только от , и сферической функции

Спектр радиального гамильтониана

Атом водорода

Электрон в поле кулоновского центра Задача об атоме водорода – одна из фундаментальных проблем квантовой механики, успешное решение которой способствовало дальнейшему развитию теории. Атом водорода состоит из тяжелого ядра (протона массы ) и движущегося в его кулоновском поле электрона. Сначала будем считать ядро бесконечно тяжелым, заменив его неподвижным кулоновским центром (конечность массы ядра учтем позже).

Рассмотрим асимптотику ограниченного решения

Теория Однако существуют такие дискретные значения , при которых функция  становится полиномом:

Замечания

Рассмотрим подробнее атом водорода

Важные характеристики атома Рассмотрим основное состояние атома водорода: .

Основное состояние атома водорода Учтем теперь конечность массы ядра атома. Тогда получаем гамильтониан системы двух частиц – электрона и ядра:

Учет движения ядра

Уточненный спектр излучения В силу собственная функция гамильтониана представляется в виде функции, отвечающей движению центра масс с заданным импульсом , и волновой функции относительного движения

Тождественные частицы Принцип Паули

Системы многих частиц

Принцип тождественности пространством состояний системы   одинаковых (тождественных) частиц является пространство  симметричных функций или пространство  антисимметричных функций.

Бозоны Частицы, описываемые функциями (), называются бозонами (фермионами) и подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна (Ферми – Дирака).

Гамильтониан Рассмотрим важный частный случай системы невзаимодействующих частиц () во внешнем поле. Гамильтониан такой системы представляется в виде суммы гамильтонианов отдельных частиц

Принцип Паули Для системы фермионов получаем антисимметричную функцию, которую можно записать в виде определителя Слэтера (J. Slater, 1929):

Система двух электронов

Решение стационарного уравнения Шрёдингера

Лекции, примеры выполнения задания. Начертательная геометрия, математика, физика