Квантовая механика

 

Постулаты квантовой механики формулируются явно, при этом подчеркиваются их экспериментальные основания. Ввиду очень ограниченного объема курса мы рассматриваем лишь несколько фундаментальных точно решаемых задач квантовой механики: гармонический осциллятор, момент импульса (орбитальный и спиновый), атом водорода. Кратко излагаются принципы теории систем тождественных частиц.

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА Физические предпосылки создания квантовой механики Атомные спектры излучения

Равновесие электромагнитного излучения и вещества Рассмотрим замкнутый сосуд, нагретый до температуры . Внутри него находится равновесное электромагнитное излучение: излучаемая и поглощаемая атомами вещества стенок сосуда в единицу времени энергии равны

Фотоэффект Планк приписал квантовые свойства атомным осцилляторам, а не излучению. В 1905 г. А. Эйнштейн (A. Einstein), развивая гипотезу Планка, сделал второй шаг: само электромагнитное излучение состоит из отдельных квантов – частиц, названных позже фотонами

Эффект Комптона

Волновые свойства электронов Итак, электромагнитное излучение обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами (корпускулярно-волновой дуализм). Этот дуализм неразрывно связан с существованием постоянной Планка - кванта действия. Квантование действия можно получить, обобщив планковское правило квантования энергии осциллятора.

Стационарные состояния атома

Теория Бора – Зоммерфельда оказалась не в состоянии объяснить обнаруженную тонкую структуру атомных спектров и была непоследовательной: она использовала как классические представления, так и чуждые ей квантовые. В частности, электрон считался классической частицей, но из всего множества возможных траекторий отбирались лишь те, которые удовлетворяли условиям квантования.

Волновое уравнение Шрёдингера Получим уравнение для волны, сопоставляемой электрону.

Для монохроматической волны

Уравнение Шрёдингера для частицы в потенциальном поле Это уравнение для частицы в потенциальном поле .

Волновая функция

Волновой пакет и его эволюция Рассмотрим специальное решение уравнения Шрёдингера для свободной частицы в одномерном случае

Волновая функция свободной частицы

Квантовая частица Попытка представить квантовую частицу в виде некоторого материального волнового сгустка (пакета) не выдерживает критики, в частности, ввиду расплывания пакета

Вероятностная интерпретация волновой функции Представление об электроне в виде группы волн находится в явном противоречии с экспериментами по столкновению электронов с атомами, в которых электрон ведет себя как единая стабильная частица. В экспериментах по дифракции пучка электронов на кристаллах проявляются волновые свойства электронов, причем аналогия с дифракцией электромагнитных волн, рассматриваемых как поток фотонов, приводит к статистическому предположению: интенсивность волны в данной точке пространства пропорциональна плотности частиц.

НАБЛЮДАЕМЫЕ И ОПЕРАТОРЫ Зная плотность вероятности координаты частицы, можно найти среднее значение координаты – математическое ожидание

Фундаментальный оператор Гамильтона гамильтониан, определяющий эволюцию волновой функции, выражается через операторы координаты и импульса:

Принцип суперпозиции Линейность уравнения Шрёдингера и операторов наблюдаемых обеспечивает выполнение фундаментального принципа суперпозиции

Условия одновременной измеримости наблюдаемых Как мы уже видели, предсказания квантовой теории носят вероятностный характер. Выясним, когда измерение наблюдаемой  дает определенный результат

Пример Для точечной (бесструктурной) частицы полный набор наблюдаемых образуют операторы координат . Ему отвечает координатное представление волновых функций:

Если два оператора имеют общий полную систему собственных векторов Рассмотрим условия, при которых две наблюдаемых  и могут быть одновременно измерены. Пусть в некотором состоянии они имеют определенные значения. Тогда, как мы уже знаем, вектор состояния должен быть собственным для операторов  и :

Пример

  Для точечной (бесструктурной) частицы полный набор наблюдаемых образуют операторы координат . Ему отвечает координатное представление волновых функций:

.

Другой полный набор составляют операторы компонент импульса :

,

где - волновая функция в импульсном представлении (выше она обозначалась ).

Основные постулаты квантовой механики

Соотношение неопределенностей Детальный анализ показывает, что в случае некоммутирующих наблюдаемых  и  измерение одной из них приводит к неконтролируемому изменению другой наблюдаемой

Пример

Рассмотрим случай координаты и импульса СН «координата-импульс» выражает отсутствие точной траектории у частицы. В частности, нельзя определить импульс в данной точке пространства (как в классической механике): импульс характеризует состояние квантовой частицы в целом

Постулаты Мы ввели основные понятия квантовой механики и можем теперь явно сформулировать, следуя Дж. фон Нейману (J. von Neumann), ее основные постулаты

Изменение наблюдаемых со временем

Эволюция средних значений наблюдаемых Пусть  - произвольное состояние, эволюционирующее во времени согласно уравнению Шрёдингера

Стационарные состояния Рассмотрим важный частный случай независящего от времени гамильтониана:

Теоремы Эренфеста Рассмотрим подробнее случай одномерного движения частицы в поле

Переход к классическим уравнениям движения Рассмотрим переход к классическим уравнениям движения. Пусть состояние  представляет собой волновой пакет, сосредоточенный в окрестности точки .

Интегралы движения и симметрия в квантовой механике Вернемся к интегралам движения в квантовой механике и покажем, что их существование связано с симметрией системы.

Пример Пусть свойства системы инвариантны относительно группы линейных непрерывных преобразований координат:.

Соотношение неопределенностей «время – энергия»

Гармонический осциллятор

Осциллятор в классической механике Гармоническим осциллятором (ГО) в классической механике называется система, описываемая гамильтонианом

Стационарные состояния осциллятора 

Энергия осциллятора  Потребуем выполнения условия , что соответствует финитному движению в классической механике. Тогда решение УШ должно иметь вид:

Пример

Нормированные волновые функции

Алгебра гармонического осциллятора. Метод факторизации Покажем, что спектр и собственные векторы гамильтониана ГО можно найти, используя только алгебру наблюдаемых и общие свойства гильбертова пространства состояний.

Итак, , причем наименьшему собственному значению  отвечает вектор , удовлетворяющий уравнению

.

Пример1

Пример Покажем теперь, что все СВ могут быть построены по вектору . Воспользуемся коммутатором

Когерентные состояния гармонического осциллятора Состояния, минимизирующие произведение неопределенностей координаты и импульса частицы, подчиняются, как показано в п. 4, уравнению

Теория Коэффициент , полагая его действительным, находим из нормировочного условия:

Вычислим среднее значение координаты осциллятора в состоянии ,

Центр пакета движется по классическому закону, ширина пакета не зависит от времени:

Лекции, примеры выполнения задания. Начертательная геометрия, математика, физика