Лорановские разложения Вычислить интегралы от функции комплексного переменного Комплексные числа Элементарные функции комплексного переменного Степенная функция Примеры вычисления производных Числовые ряды с комплексными членами

Математика примеры Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

 Область задана в полярных координатах. Если область   - сектор, ограниченный лучами ,  и кривой , формула для вычисления площади получается с помощью следующей интегральной конструкции. Разобьём промежуток  лучами  на  частей; . На каждом из отрезков  выберем произвольную точку , найдём , тогда  равно площади сектора круга, ограниченного лучами ,  и дугой окружности радиуса . Объединение этих секторов - снова ступенчатая фигура, приближающая данную область , её площадь .

При   разница между  и  - площадью области  - будет тоже стремиться к нулю, т.е. .

Примеры: 1. Найти площадь, ограниченную лемнискатой .

 Решение: точки лемнискаты расположены в секторах  и ; кроме того, при решении таких задаче целесообразно использовать симметрию фигуры, поэтому мы найдём площадь части, расположенной в секторе  и учетверим её:

В каждой полученной части поверхности выберем точку  и рассмотрим касательную плоскость к поверхности в этой точке. Пересечения касательных плоскостей ограничат многоугольники, которые образуют “панцирь” на поверхности. Этот “панцирь” состоит из плоских многоугольников и, следовательно, имеет площадь, равную сумме площадей его многоугольников.

Если при стремлении к 0 диаметра разбиения площади “панцирей” имеют конечный предел, то он и называется площадью поверхности. Это определение позволяет легко найти формулу для вычисления площади поверхности. Рассмотрим плоский многоугольник, нормаль к которому имеет направляющие косинусы . Можем считать, что .

Приложения определенного интеграл.

Некоторые кривые, которые будут встречаться в дальнейшем. В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические - к вычислению площадей и объёмов. Здесь мы приведём уравнения и изображения ряда кривых, которые с которыми будем работать дальше.

Кардиоида .

Площадь плоской области.

Найти площадь, лежащую внутри кардиоиды  вне окружности .

Область ограничена кривыми, заданными параметрически.

Вычисление длин кривых Кривая задана параметрически .


Интегрирование функций комплексной переменной