Лорановские разложения Вычислить интегралы от функции комплексного переменного Комплексные числа Элементарные функции комплексного переменного Степенная функция Примеры вычисления производных Числовые ряды с комплексными членами

Математика примеры Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Несобственные интегралы.

 При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [a,b] ); для существования определённого интеграла  необходима ограниченность подынтегральной функции на [a,b]. Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными. В этом разделе мы изучим несобственные интегралы.

Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода).

Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси  и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла  при  называется несобственным интегралом функции f(x) от a до  и обозначается .

Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл   называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

 Примеры: 1. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.

2.;

следовательно, интеграл сходится и равен .

 Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от  до b :  

и в пределах от  до : . В последнем случае f(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки c. Примеры:

3. . Интеграл сходится.

4.  

  следовательно, интеграл сходится и равен .

  Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом:  сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющего неравенству c > a, сходится интеграл  (док-во: так как при a c по свойству аддитивности , и  от b не зависит, то конечный предел при  для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства).

Тройные интегралы

Рассмотрим кубируемую область в трехмерном пространстве . Разбиение  на части  осуществляется непрерывными поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции , разбиения  области  и выбранных точек  интегральную сумму , где  обозначает объем области .

Определение. Пусть  такое число, что  . Тогда мы говорим, что  интегрируема на , число  есть интеграл  по области  и обозначаем это так: .

Как и в случае двойного интеграла, выполняются аналогичные свойства 1-6. Можно доказать, что если  непрерывна на , то она интегрируема на . Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва  лежат на конечном числе непрерывных поверхностей, лежащих в  и разбивающих  на кубируемые области, то  интегрируема на .

Интегрирование функций, рационально зависящих от . Частные тригонометрические подстановки Интегрирование произведения чётных степеней sin x, cos x.

Тригонометрические подстановки для интегралов вида .

Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле

Признак сравнения. Пусть функции  f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a,b] и при  удовлетворяют неравенствам .

. На всём промежутке интегрирования ; интеграл  сходится (), поэтому исходный интеграл сходится

Признак сравнения в предельной форме

Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку. В предыдущем разделе рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости.


Интегрирование функций комплексной переменной