Лорановские разложения Вычислить интегралы от функции комплексного переменного Комплексные числа Элементарные функции комплексного переменного Степенная функция Примеры вычисления производных Числовые ряды с комплексными членами

Математика примеры Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Замена переменной в неопределённом интеграле

Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением. Примеры:

 . Представим подынтегральную функцию в виде ; интеграл от первого слагаемого аналогичен исходному с значением параметра n на две единицы меньше; к интегралу от второго слагаемого применим формулу интегрирования по частям:

.

Теперь, зная , , мы можем выписать ; ;

  и т.д.

 В качестве второго примера выведем ещё рекуррентную формулу для интеграла, который нам понадобится в дальнейшем: :

.

Теперь, начиная с , можем найти

  и т.д.

Двойной интеграл

Мы будем рассматривать функции , определенные на квадрируемом (т.е. имеющем площадь) множестве . Если вспомнить теорию определенного интеграла, то мы начинали ее изложение с понятия разбиения  отрезка . По аналогии, определим разбиение  квадрируемого множества , как представление множества  в виде объединения конечного числа квадрируемых частей, .

(Практически всегда  представляет собой криволинейную трапецию или конечное объединение криволинейных трапеций. Можно считать, что и разбиение  на части  определяется с помощью непрерывных кривых, т.е. все  - также криволинейные трапеции или их конечные объединения).


Интегрирование функций комплексной переменной