Лорановские разложения Вычислить интегралы от функции комплексного переменного Комплексные числа Элементарные функции комплексного переменного Степенная функция Примеры вычисления производных Числовые ряды с комплексными членами

Математика примеры Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Замена переменной в неопределённом интеграле

Интегралы , где  - трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x). В этом случае имеет смысл взять u = f(x), dv = Pn(x)dx, для того, чтобы в интеграле  участвовала не f(x), а её производная. Пример:

.

Для некоторых функций применяется приём «сведения интеграла к самому себе». С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого интеграла, решая которое, находим значение интеграла. Примеры:

Найти   (это интеграл №19 из табл. 10.3.неопределённых интегралов; в предыдущем параграфе мы вычислили этот интеграл с помощью тригонометрической подстановки ).

.

В результате для искомого интеграла мы получили уравнение ,

решая которое, получаем  (константа С появилась вследствие того, что интегралы  в правой и левой частях уравнения определены с точностью до произвольной постоянной) и  (константа  переобозначена через С). Аналогично выводится интеграл №20 из табл. 10.3.неопределённых интегралов.

Сведение интеграла к самому себе – самый простой способ нахождения часто встречающихся интегралов вида  и  (). Например,

. Итак, после двукратного интегрирования по частям получено уравнение относительно : , решение которого .

 При нахождении эти интегралов не принципиально, положим ли мы u = cos bx, dv = eax dx или u = eax, dv = cos bx dx; важно только при втором применении формулы интегрирования по частям загонять под знак дифференциала функцию того же типа, что и при первом (показательную или тригонометрическую).

Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях. Рассмотрим пример. Найти .

Решение.  - это несобственный интеграл, и прежде всего следует установить его сходимость. По определению, . Первый из интегралов – собственный, второй – сходится по 1-й теореме о сравнении, т.к. при  справедливы неравенства , а , очевидно, сходится.

Обозначим  (очевидно, ). Тогда, поскольку обозначение переменной интегрирования можно выбрать произвольным, , где  - квадрат, а  -

четверти круга, соответственно, радиусов . Т.к. , то по свойствам 2 и 3 двойного интеграла . В интеграле  п перейдем к полярным координатам:

. Аналогично,  и . При стремлении  получаем, что , т.е. .


Интегрирование функций комплексной переменной