Лорановские разложения Вычислить интегралы от функции комплексного переменного Комплексные числа Элементарные функции комплексного переменного Степенная функция Примеры вычисления производных Числовые ряды с комплексными членами

Математика примеры Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

Простейшие правила интегрирования.

  ();

;

Для доказательства правил 1,2 достаточно продифференцировать выражения, стоящие справа от знака равенства и убедиться, что эти выражения являются первообразными для функций, стоящих слева. Например, .

 Примеры применения правил 1,2:

.

и т.д. Значительно расширяют круг функций, интегралы от которых напрямую сводятся к табличным, два приёма, которые являются частными случаями рассматриваемого дальше метода замены переменной в неопределённом интеграле: подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого и постоянного множителя:

Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого: если , то .(Док-во: если , то ). Пример: .

Подведение под знак дифференциала постоянного множителя: если , то .

(Док-во: если , то ). Пример:  .

Приёмы 3, 4 легко комбинируются: если , то . Пример:  .

Вычисление двойных интегралов

Теорема (Фубини). Пусть  непрерывна в области , ограниченной сверху графиком функции , снизу - , , а по бокам –

отрезками вертикальных прямых  и . Тогда .

Без доказательства.

Замечание. Если область  можно ограничить так: , то .

Смысл этой теоремы ясен – указан способ сведения нового для нас объекта – двойного интеграла к уже изученным обычным интегралам.


Интегрирование функций комплексной переменной