Интегрирование функций комплексной переменной Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора Примеры разложения функций в ряд Лорана. Вычисление вычетов Найти вычет функции Операционное исчисление

Математика ТФКП примеры решения задач

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа. Комплекснозначная функция f(t), t Î(- ¥, ¥) называется оригиналом, если

1) f(t)=0 при t<0

2) в "(a,b) есть лишь конечное число разрывов первого рода. Иногда, дополнительно будет требоваться выполнение условия Липшица

|f(t+h)-f(t)| £A|h| a, для всех h,|h| £h0, a £1 на интервалах непрерывности функции

3) $ M $ s " t: |f(t)| £ Mest (*)

Число , S – множество тех s, для которых выполенно условие (*), называется показателем роста оригинала.

Пример. Функция Хевисайда

является оригиналом нулевого показателя роста.

Изображением функции оригинала f(t) ( по Лапласу ) называют функцию комплексного переменного p=s+i s, определяемую равенством

Пишут F=L[f], F ¸ f, f ¸ F.

Свойства преобразования Лапласа. Далее в этом разделе везде под f(t) понимается f(t)H(t).

Преобразования Лапласа простейших функций: ,

Свойство линейности af(t)+ b g(t) ¸ a F(p)+ bG(p).

Свойство подобия. При a > 0

Свойство запаздывания. Для t > 0 f(t- t) ¸e-p tF(p).

Дифференцирование изображения F(n)(p) ¸(-1)ntnf(t).

Дифференцирование оригинала f ¢(t) ¸pF(p)-f(0).

Следствие. f(n)(t) ¸pnF(p)-pn- 1 f (0)-pn- 2 f ¢(0)-…-f(n-1)(0)

Интегрирование изображения

Пример . x ¢ ¢+ a2 x= b sin at, общие начальные данные x0, x1, x ¢ ¢ ¢+ x=1, нулевые начальные условия.

Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

Вычислить значение функции  в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:


Вычислить интегралы от функции комплексного переменного