Интегрирование функций комплексной переменной Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора Примеры разложения функций в ряд Лорана. Вычисление вычетов Найти вычет функции Операционное исчисление

Математика ТФКП примеры решения задач

Вычисление вычетов

Пример. Найти вычет функции относительно всех изолированных особых точек.

Решение. Функция имеет две и.о.т. 0 и ¥. Воспользуемся разложением экспоненты в ряд Тейлора для получения разложения исходной функции в ряд Лорана.

Разложение имеет место в кольце 0<| z|< ¥. Найдем коэффициент c -1 этого разложения. Для получения этого слагаемого необходимо выполнение условия k- m=-1, откуда m= k+1. Учитывая это, получим

.

Пример. Найти вычет функций относительно всех изолированных особых точек.

Решение. Покажем вначале, что функции sin z и cos z в комплексной плоскости имеют нули только на вещественной оси. Действительно,

. Откуда следует, что sin z = 0 лишь в случае sin x = 0 и sh y = 0. Аналогично для функции cos z имеем: .

Откуда следует, что cos z = 0 лишь в случае cos x = 0 и sh y = 0. Таким образом, исходная функция имеет только полюсы второго порядка в нулях синуса, т.е. в точках p k. Так как и вычет единицы равен нулю, то вычеты можно считать для функции . Имеем

.

. Воспользовавшись первыми двумя членами разложений в ряд Тейлора функций sin и cos легко установить, что бесконечно малая sin u – u cos u в нуле имеет третий порядок малости . таким образом в последнем выражении числитель имеет четвертый порядок малости, в то время, как знаменатель имеет третий порядок малости, и указанный предел равен нулю. Все вычеты равны нулю.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

(5)

Заданы начальные условия:

Всякое решение такой (5) системы ДУ, а именно функции -, будут оригиналами.

 

(7)

 

 

Основная теорема о вычетах. Пусть функция f(z) аналитична во всех точках ограниченной замкнутой области , границей которой является контур L, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, z3, …, zn, расположенных внутри L.

Бесконечно удалённая особая точка

Вычет функции в бесконечно удалённой особой точке.

Найти вычет функций относительно всех изолированных особых точек.

Найти вычет функций относительно всех изолированных особых точек.


Вычислить интегралы от функции комплексного переменного