Интегрирование функций комплексной переменной Интегральная формула Коши Разложить в ряд Тейлора Примеры разложения функций в ряд Лорана. Вычисление вычетов Найти вычет функции Операционное исчисление

Математика ТФКП примеры решения задач

Вычисление вычетов

Вычетом функции f( z) в конечной изолированной особой точке a называется число

,

где C-окружность достаточно малого радиуса с центром в точке a, пробегаемая против часовой стрелки. Вычет в бесконечности ( ¥-изолированная особая точка) определяется по формуле

,

где C- -окружность достаточно большого радиуса, пробегаемая по часовой стрелке. Вычет функции f( z) в конечной изолированной особой точке a равен коэффициенту с-1 в разложении функции f( z) в ряд Лорана при ( z- a)-1

.

Вычет функции f( z) в изолированной особой точке ¥ равен коэффициенту -с-1 в разложении функции f( z) в ряд Лорана при z -1

.

Если у аналитической функции f( z) имеется лишь конечное чисто изолированных особых точек, то сумма вычетов в этих точках, включая вычет в ¥ равна нулю.

Если a – полюс порядка n функции f( z), то

.

В случае полюса первого порядка формула имеет вид

.

Пример 1. Найти вычет функции относительно всех изолированных особых точек (и.о.т.).

Решение. Функция имеет два полюса второго порядка в точках i и – i. В ¥ имеется устранимая особенность.

. Аналогично . Из формулы для суммы вычетов следует, что .

Пример.

 

;

;

.

Пример.

;

;

;

.

Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность этой точки, в которой f(z) аналитична во всех точках, за исключением точки а.

Признаки особых точек по значению .

Теорема о связи нулей и полюсов. Функция f(z) имеет в точке z = a – полюс n-го порядка тогда и только тогда, когда функция  имеет в этой точке нуль n-го порядка.

Вычет в устранимой особой точке равен нулю. Это следует из определения устранимой особой точки: главная часть ряда Лорана отсутствует, все коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю, A-1 = 0.

Вычет в существенно особой точке находится из разложения функции в ряд Лорана.

Изолированная особая точка функции называется существенно особой точкой, если не существует конечного или бесконечного предела .


Вычислить интегралы от функции комплексного переменного