Функция комплексной переменной.
Степенная функция w = z 2. Рассмотрим эту функцию в верхней полуплоскости
 |
C + = {z | y = Im z >0}. В показательной
форме w = z 2 = (|z | e i arg z)2 = |z | 2 e 2 i arg z. Следовательно, полуокружность
переходит в окружность с выколотой
точкой 
,
луч 
- в луч 
. Вся верхняя полуплоскость
С + перейдёт в плоскость W с выброшенной положительной полуосью.
Представим это отображение в декартовых координатах. Так как
w = z2 = (x + iy)2 = x2 - y2 + 2 ixy, то u(x, y) = x2 - y2, v(x, y)
= 2 xy. Найдём образы координатных линий. Прямая y = y0 перейдёт в кривую, параметрические
уравнения которой u = x2 – y02,
v = 2 xy0 (х - параметр). Исключая х,
получим уравнение параболы 
. Луч
перейдёт в u = x02 – y2,
v
= 2 x0 y (параметр y>0). Исключая у, получим ветвь параболы 
.
Из v = 2 x0 y следует, что v сохраняет знак x0, поэтому это будет верхняя ветвь при x0 >0, и нижняя при x0 <0. Луч x0 = 0 перейдет в луч u < 0, v = 0.
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции 
и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую
часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой 
.
Задание 5. Построить область плоскости 
, определяемую данными неравенствами.
а)
;
б) 
Задание 6. Проверить, может ли функция 
быть действительной частью некоторой аналитической
функции 
, если да – восстановить
ее, при условии 
.
Мы рассматриваем функцию w = z2 в верхней полуплоскости С +, несмотря на то, что она определена во всей плоскости С, по той причине, что она однолистна в этой полуплоскости
Дифференцируемость функции комплексной переменной
Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции.