Последовательность и её предел

Определение последовательности и её предела.

Последовательностью называется любой счётный набор действительных чисел а1, а2, а3,…, аn,….

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Док-во. Пусть $. Возьмём e=1. $N: n> N Þa-1<an < a+1. Итак, все члены последовательности, начиная с N+1, ограничены снизу числом a-1, сверху - числом a+1. Вне окрестности U1(a) точки a может лежать не более N членов. Возьмём в качестве нижней границы число М1=min{a1,a2,a3,…,aN,a-1}, в качестве верхней границы число М2=max{a1,a2,a3,…,aN,a+1}. Тогда М1an М2, т.е. последовательность  действительно ограничена.

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Пример Найти интеграл

 Достаточность строго доказывать не будем, приведём идею доказательства. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена (доказывается аналогично свойству 4.3.2.3), следовательно из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу a. Далее показывается, что это число будет пределом всей последовательности .

Число е Здесь мы докажем существование числа, играющего исключительную роль в природе и математике - числа е. Это число определяется как

Предел функции одной переменной.

Предел функции. В этом разделе мы изучим основное понятие математического анализа - предел функции. Все остальные объекты, которые встречаются в анализе (производная, интеграл и т.д.) определяются с помощью предела.

Определение предела функции в точке.

 Опр.4.4.1. Пусть а - предельная точка области определения Х функции f(x). Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого числа e>0 существует такое число d (вообще говоря, положительное и зависящее от e), что если хÎХ принадлежит также проколотой d-окрестности  точки а, то значение функции f(x) принадлежит e-окрестности числа b.

Опр.4.4.2. Пусть {xn | xnÎX, xn ¹a} - последовательность точек области определения функции f(x), сходящаяся к точке а. Если для любой такой последовательности {xn} последовательность значений функции { f(xn)} сходится к числу b, то b называется пределом f(x) при x®а. (В МГТУ опр.3.4.1 принято называть определением Коши, опр.3.4.2 - определением Гейне).

Предел функции на бесконечности.

Пусть область определения Х функции f(x) неограничена. Число b называется пределом функции при х, стремящемся к µ, если для любого числа e>0 существует такое число K, что если хÎХ удовлетворяет условию | x |> K, то значение функции f(x) принадлежит e-окрестности числа b.

Бесконечно большие функции.

Функция f(x) называется положительной бесконечно большой при х®а, если .

Функция f(x) называется отрицательной бесконечно большой при х®а, если .

Такие же определения даются для случаев х®а+0, х®а-0, х®+¥, х®-¥.

Бесконечно малые (БМ) функции.

Функция f(x) называется бесконечно малой при х®a, если .

БМ функции принято обозначать греческими буквами:a(х), b(х) и т.д, так и будем делать. Перевод определения на язык e-d:

a(х) - БМ при х®a Û {"e>0 $d: 0<| x-a |<dÞ|a(х)|<e}.

БМ обладают всеми свойствами функций, имеющих предел. В этом разделе мы изучим специфические свойства БМ.

Произведение БМ на ограниченную функцию - БМ функция.

Арифметические действия с пределами

Второй замечательный предел. Изучая пределы последовательностей, мы доказали, что $. Распространим это доказательство на случай действительной переменной, докажем, что . Пусть n=E(x), тогда n£ x <n+1. Если x ®+¥, то и n®¥, поэтому можем считать n >1. Из неравенства  вследствие монотонного возрастания степенной функции с аргументом и степенью >1, получим

Сравнение поведения функций при х®а. Главная часть функции.

 Здесь мы определим символику, которая применяется в математической и технической литературе для сравнительного описания поведения функций вблизи предельной точки.

f(x)~g(x) (f(x) эквивалентна g(x)) при х®а, если f(x)= s(x)g(x), где s(x)®1 при х®а. Если g(x)¹0 в окрестности точки а, то f(x)~g(x), если =1.

В остальных определениях мы не будем писать х®а, но это везде подразумевается. Всё, что будет рассматриваться, верно и в случаях х®а-0, х®а+0 и т.д. В скобках будут даваться равносильные определения для случая, когда g(x)¹0 в окрестности точки а.

Сравнение бесконечно малых функций.

 В предыдущем разделе введены определения, описывающие поведение при х®а произвольных функций. Здесь мы уточним эти определения для случая бесконечно малых функций. Поведение БМ функций сравнивается, если существует конечный или бесконечный предел их отношения. Итак, пусть a(х)®0, b(х)®0

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Лекции, примеры выполнения задания. Начертательная геометрия, математика, физика