Начертательная геометрия Лекции, примеры выполнения задания

Параллельное проецирование

Проецирование называется параллельным, если центр проецирования удален в бесконечность, а все проецирующие лучи параллельны заданному направлению s.

s - направление проецирования

Чтобы найти точку А1 - параллельную проекцию точки А, построенную по направлению s на плоскости проекций П1, нужно через точку А провести проецирующий луч lA, параллельный прямой s, и определить точку его пересечения с плоскостью П1:

lA É A, lA || s, lA Ç П1 = А1

Точка А1 является параллельной проекцией как для точки А, так и для точек А1 и А2

Параллельное проецирование

Рис. 1-7

Свойства параллельных проекций

Геометрическая фигура в общем случае проецируется на плоскость проекций с искажением, но некоторые свойства оригинала сохраняются в проекциях при любом преобразовании и называются его инвариантами (остаются неизменными).

Первое свойство. Проекция точки на плоскость проекций есть точка.

Важно не само свойство, а следствие из него:

Каждой точке пространства соответствует одна и только одна точка на плоскости проекций. Доказательством может служить то, что через точку А можно провести только одну прямую, параллельную заданному направлению проецирования, и эта прямая пересечется с плоскостью проекций только в одной точке.

lA É A, lA || s, lA Ç П1 = А1

Второе свойство. Проекция прямой линии в общем случае есть прямая.

Г Ç a, Г Ç П1 Þ a1

Если прямая параллельна направлению проецирования, то она вырождается в точку.

lC É C, lC || s, lC Ç П1 = C1; C1 - точка

Проекция прямой линии в общем случае есть прямая

Рис. 1-8

Третье свойство – принадлежности. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки

принадлежит проекции прямой, К Î а Þ К1 Î а1

Это свойство следует из определения проекции фигуры, как совокупности проекций всех ее точек (см. рис. 1-8)

Четвертое свойство - свойство простого соотношения трех точек. Если точка делит отрезок в некотором отношении, то и проекция этой точки делит отрезок в том же отношении (см. рис. 1-8).

|AK| : |KB| = |A1K1| : |K1B1|

Пятое свойство. Если прямые в пространстве параллельны, то их проекции ||.

m || n Þ m1 || n1, т. к. Г || S (Рис 1-9)

Отношение длин отрезков параллельных прямых равно отношению длин их проекций

Рис. 1-9

Шестое свойство. Отношение длин отрезков параллельных прямых равно отношению длин их проекций, АВ || СD Þ А1В1 || С1D1 (Рис 1-9)

Седьмое свойство. Проекция геометрической фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскостей проекций: A1B1C1 = A1B1C1

Проекция геометрической фигуры

Рис. 1-10

Если П1 || П11, то А1А11 = В1В11 = С1С11 - как параллельные отрезки, заключенные между параллельными плоскостями, следовательно четырехугольники А1А11В1В11 и В1В11С1С11 и С1С11А1А11 являются параллелограммами, а у параллелограммов параллельные стороны равны. Поэтому DА1В1С1 = А11В11С11

Рассмотренные свойства параллельного проецирования сохраняются при любом направлении проецирования.

Ортогональное проецирование. Свойства ортогонального проецирования

Ортогональное (прямоугольное) проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования перпендикулярно к плоскости проекций (s^П1). В этом случае проекции геометрических фигур называются ортогональными.

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного проецирования, а также свойства, присущие только ортогональному проецированию.

Первое свойство. В общем случае ортогональная проекция отрезка всегда меньше его натуральной длины.

Если провести А*В || А1В1, то ÐАА*В = 90°. Из прямоугольного треугольника следует, что АВ - гипотенуза, А*В - катет, а гипотенуза всегда больше катета (А*В = АВ ´ Соsa),

Ортогональному проецированию

Рис. 1-11

Рассмотрим частные случаи:

Если a = 0 Þ |А1В1| = |АВ|, т.е. проекция равна самому отрезку.

Если a =90° Þ А1 = В1, т.е. проекция отрезка - точка.

Второе свойство: теорема о проецировании прямого угла

Если одна сторона прямого угла параллельна какой-нибудь плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна ей, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения.

Дано: ÐАВС = 90°, ВС || П1,

Доказательство:

плоскость Ф = АВ Ç ВВ1

плоскость S = ВС Ç ВВ1

ВС ^ Ф, т.к. ВС ^ АВ и ВС ^ ВВ1, но В1С1 || ВС Þ В1С1 ^ Ф Þ В1С1 ^ А1В1,

значит ÐА1В1С1 - прямой

Третье свойство: ортогональная проекция окружности в общем случае есть эллипс

Рис. 1-12

Третье свойство: ортогональная проекция окружности в общем случае есть эллипс.

Заключим окружность в плоскость

Рис. 1-13

Заключим окружность в плоскость S, S Ù П1 = a, если 0 < a < 90°, то окружность (k) -эллипс (k1)

АВ ^ СD - сопряженные диаметры, пусть АВ || П1

А1В1 = АВ - большая ось эллипса

С1D1 = СD ´ cоsa - малая ось эллипса.

Все хорды окружности параллельные СD проецируются с коэффициентом сжатия cоsa и делятся осью А1В1 пополам, т.е. ортогональная проекция окружности, в общем случае, есть замкнутая центрально симметричная кривая второго порядка, имеющая две взаимно перпендикулярные оси.

Частные случаи:

1. Если S || П1, то окружность (k) - проецируется без искажения.

2. Если S ^ П1, т.е. Ða = 90°, то окружность (k) - прямая линия, равная диаметру.

Лекции, примеры выполнения задания курсовых проектов по начерталке