Начертательная геометрия Лекции, примеры выполнения задания

Взаимная принадлежность точки, прямой и плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Построение точки в плоскости сводится к двум операциям: построению в плоскости вспомогательной прямой и построению точки на этой прямой.

Задача: Плоскость S задана пересекающимися прямыми а и b (рис. 2-3). Точка М(М2 ) принадлежит плоскости.

Найти М1.

Краткая запись условия задачи: SÇ b), М(М2 )Î S; М1 = ?

Взаимная принадлежность точки, прямой и плоскости

Рис. 2-3

Решение: Через точку М2 (рис. 2-4) проводим вспомогательную прямую

kÌ S: k2 Ç a2 =12; k2 Ç b2 =22;

затем находим горизонтальные проекции точек 1 и 2 по условию принадлежности прямым а и b соответственно; через две точки 11 и 21 проводим прямую k1 и на ней, с помощью линии связи, находим точку М1. И таких прямых можно провести сколько угодно, то есть, вариантов решения бесчисленное множество.

Прямая принадлежит плоскости

Рис. 2-4

Прямая принадлежит плоскости, если она:

1. Проходит через две точки плоскости;

2. Проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

В предыдущем примере мы рассмотрели, как построить прямую в плоскости по двум точкам. Для второго случая плоскость Г зададим треугольником АВС.

Задача: Плоскость Г задана DАВС (рис. 2-5).

Точка М(М1) принадлежит Г. Найти М2.

М(М1)Î Г(АВС). М2 = ?

Для второго случая плоскость Г зададим треугольником АВС

Рис. 2-5

Решение:

Через точку М1 (рис.2-6) проведём прямую k, параллельную стороне треугольника АВ. Она пересечёт сторону АС в точке 1: k1 || A1 B1 ; k­1 A1 Ç C1 =11; с помощью линии связи найдём 12, проведём k2 параллельно А2В2 ней найдём точку М2:

Алгоритмическая запись решения

Рис. 2-6

Алгоритмическая запись решения:

11Î A1C1 Þ 12Î A2C2; 12Î k2, k2 || A2B2; M2Î k2.

Как вы думаете?

Сколько решений имеет эта задача?

Плоскости частного положения

Плоскости, параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями частного положения.

Имеется две группы таких плоскостей:

Проецирующие плоскости

Плоскости уровня

Проецирующие плоскости

Если плоскость перпендикулярна только одной плоскости проекций, то она называется проецирующей.

Одна из её проекций вырождается в прямую линию, называемую главной проекцией и обладающую собирательными свойствами.

Горизонтально проецирующая плоскость

Это плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций: Г^^ П1

(рис. 2-7а, 2-7б).

Графический признак:

Горизонтальная проекция Г1 горизонтально проецирующей плоскости прямая линия, не параллельная и не перпендикулярная линиям связи. Это главная проекция.

Например:

Г ^^ П1 - горизонтально проецирующая плоскость.

Г^ П1 Þ Г1 - прямая линия, главная проекция.

Ðb - угол наклона плоскости Г к П2.

Пространственный чертеж

Рис. 2-7а

Пространственный чертеж

Пространственный чертеж

Рис. 2-7б

Плоский чертеж

Фронтально проецирующая плоскость

Это плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций: S ^^ П2

(рис. 2-8а, 2-8,б)

Графический признак:

Фронтальная проекция S2 фронтально проецирующей плоскости - прямая линия, не параллельная и не перпендикулярная линиям связи. Это главная проекция.

Графический признак

Рис. 2-8а

Пространственный чертеж

Пространственный чертеж

Рис. 2-9б

Плоский чертеж

S|| b) ^^ П2 - фронтально проецирующая плоскость. S ^ П2 Þ S2 - главная проекция.

Ða - угол наклона плоскости S к П1. Прямые а и b Ì S Þ а2, b2 = S 2

Точка М Î S Þ М2 = S2

Плоскости уровня (дважды проецирующие)

Если плоскость перпендикулярна одновременно двум плоскостям проекций, а, следовательно, параллельна третьей, то она называется плоскостью уровня.

Лекции, примеры выполнения задания курсовых проектов по начерталке