Свойства проекций кривых линий
Свойства кривых линий и их проекций позволяют наглядно демонстрировать физические, химические, электрические процессы. В геометрии кривые линии - это линии пересечения поверхностей.
Рис. 1-52
1. Проекцией кривой линии является кривая линия (в общем случае).
2. Касательная к кривой проецируется в касательную к ее проекции.
3. Несобственная точка кривой проецируется в несобственную точку ее проекции.
4. Порядок кривой (только для алгебраических кривых) в проекциях не изменяется.
5. Число точек пересечения кривой сохраняется при проецировании.
Некоторые плоские кривые линии
Эллипс, парабола, гипербола - алгебраические кривые второго порядка определяются уравнением f (х ,у) = 0.
Эллипс
АВ = 2а - большая ось эллипса
CD = 2в - малая ось эллипса
О - центр эллипса
F1; F2 - фокусы эллипса
А,В,С,D - вершины эллипса
Точки M и N - любые точки эллипса
|MF1| + |MF2| = |NF1| + |NF2| = АВ - Const
Рис. 1-53
Эллипс - это все множество точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а.
У эллипса все точки собственные. Кривая симметрична относительно обеих осей. Всегда можно подобрать такую пару диаметров эллипса, что: хорды, параллельные одному диаметру, делятся другим диаметром пополам, такие диаметры называются сопряженными.
Графически можно построить любую точку эллипса, если заданы его оси. Эллипс на рис. 1-54 построен равномерным сжатием окружности в направлении ОС ^ ОА
АВ - большая ось
СD - малая ось
Разделить окружности на 12 равных частей
Из точек пересечения любого луча с окружностями провести прямые, параллельные осям эллипса:
из точки 1 || СD, из точки 2 || АВ.
Рис. 1-54
Парабола
Парабола обладает одной осью и имеет две вершины: О - собственная точка и S ¥ - несобственная точка (парабола имеет одну несобственную точку), F - фокус и Р - параметр параболы
Парабола - это все множество точек, равноудаленных от прямой d (директрисы) и данной точки F (фокуса)
Рис. 1-55
Если требуется построить параболу по заданной вершине О, оси Х и точки М, то строится прямоугольный треугольник - ОАМ (рис. 1-56)
Рис. 1-56
Гипербола
Гипербола - разомкнутая кривая, состоящая из двух симметричных ветвей; она имеет две оси симметрии - действительную (ось - х) и мнимую (ось - у). Асимптоты - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность (рис. 1-57).
Рис. 1-57
Точки А и В - вершины гиперболы.
F1 и F2 - фокусы гиперболы
|MF1| - |MF| = |NF1| - |NF2| = const = 2a
Расстояние между F1 и F2 равняется сумме (а2 + в2)
Гипербола - это все множество точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а.
Построение гиперболы, если заданы вершины А и В и фокусы F1 и F2.
Рис. 1-58
Точки - 1, 2, 3, 4, 5 - ряд произвольно взятых точек. Из фокусов F1 и F2, как из центров, проводят дуги, радиусами которых служат расстояния от вершин А и В до точек 1, 2, 3, 4, 5 и т.д.. (рис. 1-59) R2 = В1, В2, В3, В4, В5 R = А1, А2, А3, А4, А5
Рис. 1-59
Эвольвента
Эвольвента (развертка окружности)- эта лекальная кривая широко применяется в технике. Например, форма боковой поверхности зуба зубчатых передач, называемая профилем зуба, очерчивается по эвольвенте.
Рис. 1-60
Алгоритм построения
1. Окружность разделить на 12 частей.
2. В точках деления провести касательные к окружности направленные в одну сторону
3. На касательной, проведенной через последнюю точку, откладывают отрезок равный, 2pR, и делят на 12 частей.
5. На первой касательной откладывают 1/12 отрезка на второй 2/12 и т.д.
| Лекции, примеры выполнения задания курсовых проектов по начерталке |