Свойства проекций кривых линий
Свойства кривых линий и их проекций позволяют наглядно
демонстрировать физические, химические, электрические процессы. В геометрии кривые
линии - это линии пересечения поверхностей.

Рис. 1-52
1. Проекцией кривой
линии является кривая линия (в общем случае).
2. Касательная к кривой проецируется
в касательную к ее проекции.
3. Несобственная точка кривой проецируется
в несобственную точку ее проекции.
4. Порядок кривой (только для алгебраических
кривых) в проекциях не изменяется.
5. Число точек пересечения кривой сохраняется
при проецировании.
Некоторые плоские кривые линии
Эллипс, парабола,
гипербола - алгебраические кривые второго порядка определяются уравнением f (х
,у) = 0.
Эллипс
АВ = 2а - большая ось эллипса
CD = 2в - малая
ось эллипса
О - центр эллипса
F1; F2 - фокусы эллипса
А,В,С,D
- вершины эллипса
Точки M и N - любые точки эллипса
|MF1|
+ |MF2|
= |NF1|
+ |NF2|
= АВ - Const

Рис. 1-53
Эллипс - это все множество точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть
величина постоянная, равная 2а.
У эллипса все точки собственные. Кривая
симметрична относительно обеих осей. Всегда можно подобрать такую пару диаметров
эллипса, что: хорды, параллельные одному диаметру, делятся другим диаметром пополам,
такие диаметры называются сопряженными.
Графически можно построить любую
точку эллипса, если заданы его оси. Эллипс на рис. 1-54 построен равномерным сжатием
окружности в направлении ОС ^ ОА

АВ - большая ось
СD - малая ось
Разделить окружности на 12 равных частей

Из точек пересечения любого луча с окружностями
провести прямые, параллельные осям эллипса:
из точки 1 || СD, из точки 2 || АВ.


Рис. 1-54
Парабола
Парабола
обладает одной осью и имеет две вершины: О - собственная точка и S ¥ - несобственная точка (парабола имеет
одну несобственную точку), F - фокус и Р - параметр параболы
Парабола -
это все множество точек, равноудаленных от прямой d (директрисы) и данной точки
F (фокуса)

Рис. 1-55
Если требуется построить
параболу по заданной вершине О, оси Х и точки М, то строится прямоугольный треугольник
- ОАМ (рис. 1-56)

Рис. 1-56
Гипербола
Гипербола
- разомкнутая кривая, состоящая из двух симметричных ветвей; она имеет две оси
симметрии - действительную (ось - х) и мнимую (ось - у). Асимптоты - это прямые,
к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность
(рис. 1-57).

Рис. 1-57
Точки А и В - вершины
гиперболы.
F1 и F2 - фокусы гиперболы
|MF1|
- |MF|
= |NF1|
- |NF2|
= const = 2a
Расстояние между F1 и F2 равняется сумме (а2 + в2)
Гипербола
- это все множество точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных
точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а.
Построение гиперболы,
если заданы вершины А и В и фокусы F1 и F2.

Рис. 1-58
Точки - 1, 2, 3, 4,
5 - ряд произвольно взятых точек. Из фокусов F1 и F2, как из центров, проводят
дуги, радиусами которых служат расстояния от вершин А и В до точек 1, 2, 3, 4,
5 и т.д.. (рис. 1-59) R2 = В1, В2, В3, В4, В5 R = А1, А2, А3, А4, А5

Рис. 1-59
Эвольвента
Эвольвента
(развертка окружности)- эта лекальная кривая широко применяется в технике. Например,
форма боковой поверхности зуба зубчатых передач, называемая профилем зуба, очерчивается
по эвольвенте.

Рис. 1-60
Алгоритм построения
1.
Окружность разделить на 12 частей.
2. В точках деления провести касательные
к окружности направленные в одну сторону
3. На касательной, проведенной
через последнюю точку, откладывают отрезок равный, 2pR, и делят на 12 частей.
5. На первой
касательной откладывают 1/12 отрезка на второй 2/12 и т.д.